Integral indefinido

Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por

Da definição de integral indefinido, temos as seguintes observações:

1)

2)

representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as primitivas da função integrando.

3)

Propriedades do integral definido:

Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então:

Integrais imediatos:

Exercícios:

1. Calcule os seguintes integrais indefinidos:

a)

Resolução:

b)

Resolução:

c)

Resolução:

Teorema Fundamental do Cálculo

Considere f uma função contínua num intervalo

Partindo da noção

Deste modo, o Teorema Fundamental do Cálculo define-se:

Integral definido associado ao conceito de área

Como foi referido anteriormente, o cálculo do integral definido pode estar associado ao cálculo de áreas que estão sob uma curva no plano cartesiano.

Vejamos um exemplo:

Seja f uma função contínua no intervalo

Deste modo, a área a sombreado, S, pode ser calculada através do processo de integração:

Exercício:

Use a integração para calcular a área da região delimitada pelo eixo-x e pela função f(x)=2x+1, no intervalo de x=1 até x=3.

Para calcular a área a azul temos:

Conceito de Primitiva/Integral definido

Conceito de Primitiva:

No estudo da derivada tínhamos uma função e obtínhamos, a partir dela, uma outra, a que chamamos de derivada. Neste conceito faremos o caminho inverso, isto é, dada a derivada vamos encontrar ou determinar uma função original, que chamaremos de primitiva.

Deste modo, temos:

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I, se para todo x E I, tem-se F'(x)=f(x)

Integral definido:

- O conceito de integral definido está particularmente associado ao cálculo de áreas. Portanto, pode-se concluir que ao calcular um integral definido vamos obter um número.

- Como o próprio nome indica, o integral tem de estar definido num intervalo e pode ser representado da seguinte forma:

onde

é o intervalo de integração.

Propriedades dos integrais definidos:

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor consiste numa expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial.

O polinómio de Taylor de grau n é dado por, numa vizinhança de x=a,

A principal propriedade deste polinómio é que ele passa pelo ponto (a;f(a)) e possui as mesmas derivadas até ordem n que a função f.

O polinómio de Taylor de f é desenvolvido numa vizinhança de x=a que aproxima a função nesta vizinhança.

Quando a aproximação é feita em torno do ponto x=0, estamos na presença do Polinómio de Maclaurin.

Exercícios:

1. Aproxime a função 1/(1+x) por um polinómio linear em torno do ponto x=0.

Tratando-se de uma aproximação linear vamos ter apenas em consideração o grau 1. Portanto, temos:

2. Mostre que 1-e^(-x) é aproximadamente igual a x para valores de x próximos de x=0.

Tomando a função f(x)=1-e^(-x). Portanto, temos:

Segunda derivada

A segunda derivada de uma função está associada à concavidade da mesma. Consequentemente, associado ao conceito de concavidade está também associado o conceito de pontos de inflexão.

Concavidade de uma função associada à segunda derivada:

Considere uma função f(x) contínua num intervalo (a;b):

-Se f''(x) for positiva no intervalo, então a concavidade da função é voltada para cima;

-Se f''(x) for negativa no intervalo, então a concavidade da função é voltada para baixo;

Pontos de inflexão de uma função associados à segunda derivada:

Sempre que acontece uma mudança do sinal da segunda derivada, de positivo para negativo ou de negativo para positivo, surgem os pontos de inflexão. Estes pontos indicam a mudança de concavidade de uma função. É importante salientar que nestes pontos a segunda derivada é zero.

Exercício:

1. Com base na segunda derivada, verifique a concavidade da função y=x^3-x

Para calcularmos a segunda derivada de uma função é necessário, primeiramente, calcular a primeira derivada e só depois, a partir desta, calcular a segunda derivada.

Deste modo, temos:

Com a análise da tabela, verifica-se que:

A função y tem:

-Concavidade voltada para cima:

-Concavidade voltada para baixo:

Primeira derivada

A primeira derivada de uma função está associada à verificação da sua monotonia (ou seja se a função é crescente ou decrescente). Consequentemente, associado a este conceito é importante também referir o conceito de máximo e mínimo de uma função que são os chamados pontos críticos.

Monotonia da função associada à primeira derivada:

Considere uma função f(x) contínua num intervalo (a;b):

- Se f'(x) é positiva no intervalo, então a função está a crescer (crescente);

- Se f'(x) é negativa no intervalo, então a função está a decrescer (decrescente).

Máximos e Mínimos da função associados à primeira derivada:

Seja f uma função contínua e c um ponto crítico de f:

- Se f' altera o seu sinal de negativo para positivo em c, então f(c) é um mínimo local;

- Se f' altera o seu sinal de positivo para negativo em c, então f(c) é um máximo local.

A derivada nos pontos que correspondem aos máximos e mínimos de uma função é zero.

Para calcular os máximos e mínimos de uma função e estudar a sua monotonia, é necessário seguir um conjunto de passos:

1- Calcular a primeira derivada da função;

2- Calcular os zeros da primeira derivada da função;

3- Construir um quadro de sinais.

Exercício:

1- Encontre os máximos e mínimos da seguinte função u=p(1-p)

A função u tem um máximo para x=1/2 que é 1/4.

Regra da Cadeia

A regra da cadeia é utilizada para calcular a derivada da função composta. Para sua correcta utilização, é necessário saber identificar correctamente quais são as funções que estão dentro umas das outras.

Exemplo 1:

Considere a função y=(x+5)^2. Calcule a derivada da função, utilizando a regra da cadeia.

Vamos proceder à identificação de funções que estão dentro umas das outras e separá-las

y=z^2

z=x+5

Exemplo 2:

Considere a função p=sen(4b-5). Calcule a derivada da função, utilizando a regra da cadeia.

p=senx

x=4b-5

Derivadas

Definição de derivada:

A função f diz-se diferenciável em x=a se

existe. Neste caso, o limite é representado por f'(a) e chamamos de derivada de f em x=a.

- f'(a) representa o declive da recta tangente em relação ao ponto x=a.

- Uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do domínio.

Fórmulas para o cálculo das derivadas:

- Se f(x)=c, então f'(x)=0;

- Se f(x)=x, então f'(x)=1;

-Se f(x)=cg(x), então f'(x)=cg'(x);

- Se f(x)=g(x)+h(x), então f'(x)=g'(x)+h'(x);

-Se f(x)=g(x)h(x), então f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x);

- Se f(x)=g(x)/h(x), então f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/(h(x))^2);

- Se f(x)=x^n, então f'(x)=nx^(n-1);

- Se f(x)=senx, então f'(x)=cosx;

- Se f(x)=cosx, então f'(x)=-senx;

-Se f(x)=a^x, então f'(x)=ln(a)a^x.

Assimptotas

Um gráfico de uma função pode ter três tipos de assimptotas:

1) Assimptotas verticais:

Uma recta de equação x=a é uma assimptota vertical do gráfico de uma função f, se algum dos limites

se verifica.

2) Assimptotas horizontais:

Uma recta de equação y=b é uma assimptota horizontal do gráfico de uma função f, se algum dos limites

se verifica.

3) Assimptotas oblíquas:

Uma recta de equação y=mx+b é uma assimptota oblíqua do gráfico de uma função f, se algum dos limites

se verifica.

Continuidade de uma função

Para uma função, f(x), ser contínua no ponto x=a, tem de se obedecer a determinados critérios, entre os quais:

1) a tem de pertencer ao domínio de f(x);

2) o limite de f(x) quando x tende para a tem de existir;

3) o limite de f(x) quando x tende para a tem de ser igual a f(a).

No entanto, a função também pode ser apenas contínua à esquerda do ponto ou apenas contínua à direita do ponto.

Contínua à esquerda do ponto:

Contínua à direita do ponto:

Exercício:

Verifica se a função f(x)=x^2-3 é contínua no ponto x=0.

f(0)=0^3-3=-3

Como se verificam todos os critérios enunciados anteriormente, a função é contínua no ponto x=0.

Teorema de Sandwich

O teorema de Sandwich é um teorema que pode ser aplicado na resolução de alguns limites, tendo por base o enquadramento de funções.

Definição:

Exemplo:

Calcule o limite

Através do enquadramento verificamos que o limite quando x tende para zero da função f(x) é zero, porque o limite apenas pode "variar entre o valor zero e zero".