A segunda derivada de uma função está associada à concavidade da mesma. Consequentemente, associado ao conceito de concavidade está também associado o conceito de pontos de inflexão.
Concavidade de uma função associada à segunda derivada:
Considere uma função f(x) contínua num intervalo (a;b):
-Se f''(x) for positiva no intervalo, então a concavidade da função é voltada para cima;
-Se f''(x) for negativa no intervalo, então a concavidade da função é voltada para baixo;
Pontos de inflexão de uma função associados à segunda derivada:
Sempre que acontece uma mudança do sinal da segunda derivada, de positivo para negativo ou de negativo para positivo, surgem os pontos de inflexão. Estes pontos indicam a mudança de concavidade de uma função. É importante salientar que nestes pontos a segunda derivada é zero.
Exercício:
1. Com base na segunda derivada, verifique a concavidade da função y=x^3-x
Para calcularmos a segunda derivada de uma função é necessário, primeiramente, calcular a primeira derivada e só depois, a partir desta, calcular a segunda derivada.
Deste modo, temos:
Com a análise da tabela, verifica-se que:
A função y tem:
-Concavidade voltada para cima:
-Concavidade voltada para baixo:
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