Primeira derivada

A primeira derivada de uma função está associada à verificação da sua monotonia (ou seja se a função é crescente ou decrescente). Consequentemente, associado a este conceito é importante também referir o conceito de máximo e mínimo de uma função que são os chamados pontos críticos.

Monotonia da função associada à primeira derivada:

Considere uma função f(x) contínua num intervalo (a;b):

- Se f'(x) é positiva no intervalo, então a função está a crescer (crescente);

- Se f'(x) é negativa no intervalo, então a função está a decrescer (decrescente).

Máximos e Mínimos da função associados à primeira derivada:

Seja f uma função contínua e c um ponto crítico de f:

- Se f' altera o seu sinal de negativo para positivo em c, então f(c) é um mínimo local;

- Se f' altera o seu sinal de positivo para negativo em c, então f(c) é um máximo local.

A derivada nos pontos que correspondem aos máximos e mínimos de uma função é zero.

Para calcular os máximos e mínimos de uma função e estudar a sua monotonia, é necessário seguir um conjunto de passos:

1- Calcular a primeira derivada da função;

2- Calcular os zeros da primeira derivada da função;

3- Construir um quadro de sinais.

Exercício:

1- Encontre os máximos e mínimos da seguinte função u=p(1-p)

A função u tem um máximo para x=1/2 que é 1/4.